función biyectiva

Sea A un conjunto no vacío y Biy(A) el conjunto formado por todas las funciones biyectivas de A en sí mismo. El conjunto Biy(A) no es vacío, porque al menos la función identidad está en ese conjunto. Además, recordando que las funciones biyectivas coinciden con las funciones invertibles, tenemos que la composición de funciones define una operación algebraica en Biy(A). Se verifica que

1. La composición es una operación asociativa, es decir, dadas tres funciones cualesquiera se cumple que
2. La función identidad es un neutro respecto a la operación. O sea, , tenemos que .
3. Cada elemento f de Biy(A) tiene un inverso respecto a la operación: la función inversa de f. O sea que .

Estas tres condiciones determinan lo que se llama un grupo. Por lo que el conjunto de las funciones biyectivas , Biy(A) es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones que recibe el nombre de grupo simétrico de .
Cuando A es un conjunto finito, digamos con n elementos, las biyecciones de A se llaman también permutaciones, por lo que el grupo simétríco de A se llama también grupo de permutaciones